Calculadoras del mínimo común múltiplo, máximo común divisor, divisores, múltiplos y descomposición de 2 o 3 números. Con ejemplos y problemas resueltos.
Índice:
Introducir 2 o 3 números para calcular su mcm y su mcd.
| Números: | |||
| mcm = | |||
| mcd = | |||
Enlaces a problemas resueltos:
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos números \(a\) y \(b\) es el número más pequeño que es múltiplo de \(a\) y múltiplo de \(b\).
Por ejemplo, el mcm de 2 y 3 es 6 porque
Por tanto,
$$ \text{mcm(}2,3) = 6$$
El máximo común divisor (mcd) de dos números \(a\) y \(b\) es el número más grande que es divisor de \(a\) y divisor de \(b\).
Por ejemplo, el mcd de 12 y 18 es 6 porque
Por tanto,
$$ \text{mcd(}4,6) = 2$$
Tanto el mcm como el MCD son útiles para resolver problemas prácticos, como muestra el problema siguiente.
Ejemplo de problema práctico: disponemos de dos cuerdas de 12 y 18 metros de longitud cada una y queremos cortarlas en trozos iguales de modo que los trozos sean lo más grandes posibles. ¿Cuánto debe medir cada trozo?
Solución:
La solución es el máximo común divisor de 12 y 18 porque:
Como el mcd(12,18) = 6, los trozos deben medir 6 metros cada uno y tendremos un total de 5 trozos (dos de la cuerda de 12 y cinco de la cuerda de 18).
¿Y si escogemos otra longitud en lugar del mcd?
El método más común para calcular el mcm y el mcd es utilizar la factorización de los números en potencias de números primos (para ello, dividiremos consecutivamente los números).
Por ejemplo, las factorizaciones de 4 y 6 son
$$4 = 2^2 $$
$$6 = 2^1\cdot 3^1 $$
Para calcular el mcm tomamos los factores comunes y no comunes (2 y 3) al mayor de los exponentes (el mayor exponente para 2 es 2 y para 3 solo puede ser 1), así que el mcm es
$$ \text{mcm(}4,6) = 2^2\cdot 3^1 = 12$$
Para calcular el mcd tomamos los factores comunes (solo el 2) al menor de los exponentes (los posibles son 1 y 2), así que el mcd es
$$ \text{mcd(}4,6) = 2^1 = 2$$
Si en lugar de dos números \(a\) y \(b\) tenemos tres o más números, tanto los conceptos de mcm y mcd como el método para calcularlos siguen siendo los mismos. Por ejemplo, el mcm y el mcd de 4, 6 y 18 son
$$ \text{mcm(}4,6,18) = 36$$
$$ \text{mcd(}4,6,18) = 2$$
A continuación, enunciamos algunas propiedades del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo. Las demostraciones de las mismas, y de otras propiedades, se pueden consultar en:
Problemas teóricos de mcm y mcd
El producto de dos números es igual al producto de su mínimo común múltiplo y su máximo común divisor: $$ a\cdot b = \text{mcm}(a,b)\cdot \text{mcd}(a,b) $$
El mínimo común múltiplo de dos números primos distintos es igual a su producto y su máximo común divisor es 1.
El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de dos números pares (impares) son números pares (impares).
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